2019-2020学年高中一年级数学常识讲学（必学5）
专题06等差数列的前n项和
1．一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】C
【分析】
中间项为
.由于
，
，所以
.故选C.2．【2012届内蒙古包头三十三中高中三年级上学期期中】已知等差数列
的前n项和为
，若
，则
等于
A．18 B．36
C．54 D．72
【答案】D
【分析】
数列
为等差数列，
,
由等差数列的性质得：
,
又其前
项和为,
，故选D .3．设是等差数列的前n项和，已知，那样n等于（ ）.
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】C
【分析】
由于是等差数列的前n项和，
，
所以
，即
，所以
，
又
，所以
.
故选C4．在数列中，若
，且
，则这个数列前30项的绝对值之和为（ ）
A．495 B．765 C．46 D．76
【答案】B
【分析】
由题意，可知，即
，即数列为公差为3的等差数列，
又由，所以
，，
可得当
时，，当时，
，
所以数列前项的绝对值之和为：
，
故选B.5．已知数列{an}的通项公式是an＝3n－16，则数列{an}的前n项和Sn获得最小值时，n的值为
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
依据题意，得即
解得
≤n≤
.∵n∈N*，∴n＝5，
∴数列{an}的前n项和Sn的最小值为S5
故选C.6．【江苏如皋市2018-2019学年度高一下学期教学水平调查】在等差数列中，
，则等于
A．2 B．18 C．4 D．9
【答案】D
【分析】
等差数列中，
故选：D7．【贵州遵义航天高级中学2018届高中三年级上学期第四次模拟】等差数列的前项和为，若
，则
等于（ ）
A．58 B．54 C．56 D．52
【答案】D
【分析】
，得
,
.
故选D.8．【辽宁丹东2018-2019学年高中一年级下学期期末】《算法统宗》是中国古时候数学名著，由明代数学家程大位编著，它对国内民间普及珠算和数学常识起到了非常大有哪些用途，是东方古时候数学的名著，在这部著作中，很多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多大了，各儿岁数要哪个推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）
A．8岁 B．11岁 C．20岁 D．35岁
【答案】B
【分析】
由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为
，则，解得
．
故选B．9．设等差数列的前n项和为，若
，则
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
是等差数列
又
，
∴公差，
，故选C．10．【河南郑州一中2017-2018学年高二上学期期中】已知等差数列前项和为，且，，则此数列中绝对值最小的项为
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
【答案】C
【分析】
设等差数列的首项为，公差为
，，则
，又，则
，说明数列为递减数列，前6项为正，第7项及后面的项为负，又，则
，则在数列中绝对值最小的项为
，选C.11．把正整数下列办法分组：（1），（2，3），（4，5，6），…，其中每组都比它的前一组多一个数.设表示第n组中所有数的和，那样
等于 （ ）
A．1113 B．4641 C．5082 D．53 361
【答案】B
【分析】
由于第组有个数，
所以前20组一共有
（个）数，
所以第21组的第一个数为211，这一组共有21个数，
所以，故选B.12．设
是等差数列的前n项和，已知
，，，则n等于（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】D
【分析】
由于后6项的和等于，
因此
由于，所以选D.13．已知数列是等差数列，若，其前10项和，则数列的公差
___________.
【答案】
【分析】
由题意可知，，
由
，解得，
所以
.
故答案为:14．【黑龙江安达市田家炳高级中学2017-2018学年高中一年级下学期期末】设等差数列的前项和为，若，，则
等于______.
【答案】 45
【分析】
等差数列的前项和为，，，
则有
，解得
故答案为
15．已知数列的前n项和
，若第k项满足，则k等于__________.
【答案】8
【分析】
an
∵n＝1时合适an＝2n﹣10，∴an＝2n﹣10．
∵5＜ak＜8，∴5＜2k﹣10＜8，
∴k＜9，又∵k∈N+，∴k＝8，
故答案为816．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，若存在自然数p≥10，使得Sp＝ap，则当n＞p时，Sn与an的大小关系是（）
A．an＞Sn B．an≥Sn C．an＜Sn D．an≤Sn
【答案】A
【分析】
∵sp＝sp﹣1+ap＝ap，
∴sp﹣1＝0，即，又p≥10，a1＞0，
∴ap﹣1＝﹣a1＜0，
∴等差数列{an}的公差d＜0，
∴当n＞p时，an＜0，
∴sn＝sp﹣1+ap+ap+1+…+an＜an．
故选A．17．已知等差数列前三项的和为
，前三项的积为
．
（1） 求等差数列的通项公式；
（2）若
成等比数列，求数列
的前项和
【答案】（1）
，或.
（2）
【分析】
考察等差等比数列的通项公式，和前n项和公式及基本运算．
（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，
由题意得解得或
所以由等差数列通项公式可得，或.
故，或.
（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；
当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.
故
记数列的前项和为.
当
时，；当时，；
当时，
. 当时，满足此式.
综上，18．【河北张家口第一中学2018-2019学年高中一年级4月月考】已知等差数列的前n项和满足，．
求的通项公式；
求．
【答案】（1）（2）
【分析】
由等差数列的性质可得
，
解得，，
则的通项公式；
（2）为等差数列，
以1为首项，以为公差的等差数列，
.19．等差数列的前项和记为，已知
．
（1）求通项；
（2）若，求．
【答案】（1）；（2）n=11.
【分析】
1设等差数列的公差为，
由得方程组，解得
所以
2由得方程，
解得20．【浙江杭州区域七校2018-2019学年高中一年级下学期期中】已知数列中，，，为等差数列的前项和.
（1）求数列的通项公式及的最大值；
（2）求.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由于，
，故：
，
解得，，
则，
数列的前n项和公式为：，
注意到数列单调递减，且，
所以
.
（2）由于
所以 
，
因为，，
即
.21．在等差数列中.
（1）若
，求公差和前11项和.
（2）若，求通项公式及前n项和.
【答案】（1）；（2）
.
【分析】
（1）设等差数列的公差为，
由于，所以公差，
∴，则，
∴
（2）设等差数列的公差为，
由于，则，解得，
所以
.22．等差数列的前n项和为.若.求证：.
【答案】证明见分析
【分析】
由题意，设等差数列的前项和为，
由于，即，
由于，所以，即，
当时，；当时，
所以数列的通项公式，
则.
