2018-2019学年上海进才中学高二上学期期末考试数学试题
1、填空题（每小题 3分，共36 分）
1.关于
的二元一次方程的增广矩阵为
，则
__________。
【答案】
2.已知
，则
对应的坐标是__________。
【答案】
3.已知直线
与直线
重合,则__________。
【答案】
4.在正方体
中，
是中点，
为
中点，则直线
与
的地方关系是__________。
【答案】相交
5.圆
的圆心到直线
的距离等于__________。
【答案】
6.已知复数，则z的虚部为__________。
【答案】
7..经过动直线上的定点，方向向量为的直线方程是__________。
【答案】
8.复数平方根是__________。
【答案】
9.过点
且和双曲线有相同的焦点的椭圆方程为__________。
【答案】
10.已知双曲线的左、右焦点分别为
为双曲线
的右支上一点，
且
，则
的面积等于__________。
【答案】
11.平面上一机器人在行进中一直维持与点
的距离和到直线的距离相等。
若机器人接触不到过点且斜率为
的直线，则的取值范围是__________。
【答案】
【分析】由抛物线概念可知，机器人的轨迹方程为
，过点且斜率为
的直线方程为
代入，可得，
机器人接触不到过点且斜率为的直线，，
或
.
12.已知圆:，圆:
.直线、
分别过圆心、，
且与圆相交于
两点，与圆相交于
两点。若点是椭圆
上任意一点，则
的最小值为__________。
【答案】
【分析】
同理，=
，P在椭圆上，所以
；
2、选择题（每小题3分，共12分）
13.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是
【A】
或
【B】
【C】
【D】或
【答案】D
若点
的坐标为
，
是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使获得最小值的的坐标为（ ）
【A】
【B】
【C】
【D】
【答案】D
15.将正方体表面正方形的对角线称为面对角线。若是同一正方体中两条异面的面对角线，则所成的角的所有可以获得的值构成的集合是（ ）
【A】
【B】
【C】
【D】
【答案】A
16.下列关于复数的四个命题中，正确的个数是（ ）
（1）若，则复数对应的动点的轨迹是椭圆；
（2）若，则复数对应的动点的轨迹是双曲线；
（3）若
，则复数对应的动点的轨迹是抛物线；
（4）若，则的取值范围是。
【A】4
【B】1
【C】2
【D】3
【答案】B
【分析】（1）复数对应的动点是在点和点之间的线段上运动；（2）复数对应的动点的轨迹是双曲线的一支；（3）正确；（4）的取值范围是
3、解答卷（共52分）
17. 过抛物线
的焦点的直线交抛物线于点、
（其中点在第一象限），交其准线
于点，同时点是的中点。
（1）求直线的倾斜角；
（2）求线段的长。
【答案】（1） （2）
【分析】（1）依题意：，准线：，设 ，设
，由已知可得，故
，代入，得，
故，直线的倾斜角为。
（2）由与联立可得，，故。
或
。
19. 已知为圆：
上的动点，过点作 轴、轴的垂线，垂足分别为、，连接
延长至点， 使得 ，记点的轨迹为曲线。
求曲线的方程；
直线：
与圆相切，直线：与曲线相切，求的取值范围。
【答案】（1） （2）
【分析】设，
，则，
，且，
由于，即，∴，代入
，得，故曲线的方程为。
∵与圆相切，∴圆心到的距离
，得，①
联立，消去整理得
，由，得，②
由①②得
，，故。
20. 已知椭圆：，若四点
中恰有三点在椭圆上。
（1）指出四点中，可能不在椭圆上的点，并说明理由；同时求出椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点的直线与交于两点，点的坐标为
。设
为坐标原点，证明：。
【答案】（1）
（2）见分析
【分析】（1）依据椭圆图形的对称性可知，椭圆必过点
。又与点的横坐标均为1，且与
不关于轴对称，故椭圆必不过。由此可知，椭圆必过三点，将这三点的坐标代入椭圆的方程，
得，解得，所以椭圆的方程为。
（2）分以下三种状况：
（
）当与
轴垂直时，两点关于轴对称，显然。
（）当与轴重合时，显然。
（）当与轴不垂直也不重合时，过，设其方程为，且，
设，联系 ，整理得，
故，
则，
结合图形可知，直线与
的倾斜角互补，故。
综上所述，成立。
21.双曲线：
（1）已知双曲线的实轴长为，渐近线方程为．求双曲线的规范方程；
（2）若双曲线与直线交于、两点，且 ，求证：行列式的值为常数；
（3）可以证明：函数的图像是由双曲线的图像逆时针旋转得到的。用类似的办法可以得出：函数的图像也是双曲线。按教程对双曲线的性质的研究，请列出双曲线的性质（不必证明）。
【答案】（1） （2）（3）见分析
【分析】（1）依题意，，又双曲线的渐近线方程为，所以
，双曲线的规范方程是。
（2）由，得，显然
， 设，则
由于
，
所以，即，所以为常数。
（3）双曲线的性质如下：
①对称中心：原点；对称轴方程：；
②顶点坐标：
，；焦点坐标：，；
实轴长：、虚轴长：、焦距：
；
③范围：；
④渐近线：。
