上海复兴高级中学2017学年第一学期期终考试
高二数学试题
1、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1. 
____________．
2. 抛物线
的准线方程为____________．
3. 双曲线
的渐近线方程为____________．
4. 已知
（其中
、
），则
____________．
5. 已知
是关于的实系数方程的一个根，则
____________．
6. 已知椭圆
的两焦点与短轴的一个顶点恰组成一个正三角形的三顶点，且椭圆
上的点到椭圆的焦点的最短距离为，则椭圆的方程为____________．
7. 设复数
，则的最小值为____________．
8. 为椭圆
上在第一象限的一个动点，点，点
，
为坐标原点．则四边形
面积的最大值为____________．
9. 已知
、
为双曲线
的左、右焦点，点在上，
，则点到轴的距离为____________．
10. 已知椭圆的右焦点为
，过点
的直线交椭圆于、
两点．若
的中点坐标为
，则的方程为____________．
11. 为抛物线
上一动点，为的焦点，平面上一点，若
的最小值为4，则实数
的取值范围为____________．
12. 对于曲线所在平面上的定点
，若存在以点为顶点的角
，使得
对于曲线上的任意两个不一样的点
恒成立，则称角为曲线相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线相对于点的“确界角”．曲线
相对于坐标原点的“确界角”的大小是____________．
2、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. “直线与抛物线的对称轴平行”是“直线与抛物线仅有一个公共点”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
14. 若实数
满足，则曲线
与曲线的（ ）
A. 实半轴长相等 B. 虚半轴长相等
C. 焦距相等 D. 渐近线相同
15. 给出下列命题：①若
，则
；②若，则
是纯虚数；③若
、
，且，则；④若，则
对应的点在复平面内的第一象限．其中正确命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.4
16. 双曲线
绕坐标原点逆时针旋转后可以成为函数
的图像，则的角度可以为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
3、解答卷（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知复数
满足
，的虚部为2．
（1）求复数；
（2）设、、在复平面上的对应点分别为、、，求的面积．
18. 已知圆．
（1）设点
是圆上一点，求
的取值范围；
（2）如图，定点，
为圆上一动点，的中垂线交于点．求证：动点的轨迹为椭圆，并求其方程．
19. 直线
与双曲线
相交于不一样的闪光点．
（1）若点分别在双曲线的左、右两支上，求实数的取值范围；
（2）若以线段为直径的圆经过坐标原点，求实数的值．
20. 动点到直线
的距离比它到点
的距离大1．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过定点作直线，与（1）中的轨迹相交于、两点，为点
关于原点的对称点，证明：；
（3）在（2）中，是不是存在垂直于轴的直线
被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在求出的方程；若没有，请说明理由．
21. 在平面直角坐标系中有如下正确结论：
为曲线（、为非零实数，且不同时为负）上一点，则过点的切线方程为．
（1）已知为椭圆
上一点，为过点的椭圆的切线，若直线与直线的斜率分别为
与，求证：
为定值；
（2）过椭圆
上一点引椭圆的切线，与轴交于点．若
为正三角形，求椭圆的方程；
（3）求与圆及（2）中的椭圆均相切的直线与坐标轴围成的三角形的面积的取值范围．
参考答案
1、填空题
1. 2. 
3. 
4. 3 5. 5 6.
7. 8. 
9. 10. 
11.
12. 75°
2、选择题
13. A 14. C 15. A 16. D
3、解答卷
17. （1）或
（2）1
18. （1）
（2）
19. （1）
（2）
20. （1）
（2）证明略
（3）没有，理由略
21. （1）证明略
（2）
（3）
